邊坡穩定分析

一、為什麼用動態規劃

臨界滑動面分析是在給定的地形、地層與土壤條件下，找出安全係數最小的滑動面。傳統做法先假設圓弧或對數螺旋，再移動圓心與半徑試算；多層地盤、地形起伏大時，真正的臨界面往往不是圓弧。動態規劃（Dynamic Programming，DP）由 Bellman（1957）提出，把問題拆成多個階段逐段求最佳解，可以在搜尋範圍內找出任意形狀的滑動面，不必事先假設形狀。

DP 依據最佳化原理：不論初始狀態與第一步如何選擇，其餘的決策對第一步造成的狀態而言必須是最佳的。多階段問題因此化為遞迴式。

放到邊坡上，每一條垂直分割線是一個「階段」（stage），線上的候選點是「狀態」（state）。滑動面就是從第一條線走到最後一條線、每條線各選一點所連成的折線。

二、簡易 Janbu 法的安全係數

把滑動土體切成 n 個垂直切片。第 i 片受到自重 W_i、水平與垂直震度 k_H、k_V、滑動面上的正向力 N_i 與抵抗力 T_i，以及兩側的切片間水平力 E 與剪力 X。

切片的垂直與水平力平衡：

滑動土體兩端不受外力，X₁ = X_n+1 = 0、E₁ = E_n+1 = 0，所以 ΣΔX_i = 0、ΣΔE_i = 0（式 12、15、16）。滑動面上的抵抗力由 Mohr–Coulomb 破壞準則與安全係數定義：

由式 (8) 解出 N_i 代入式 (19)，再代入整體水平力平衡，並採用簡易 Janbu 法的假設 ΔX_i = 0（切片間垂直剪力變化忽略不計，式 25），得到：

A_i 是抵抗成分，B_i 是滑動成分。ℓ_icosα_i 就是切片寬度 b_i。F_s 同時出現在等號兩邊，需先假設初值再反覆計算到收斂。

f₀ 是補償 ΔX_i = 0 假設的修正係數。原報告採用申・板垣（1983）的經驗式，L 為滑動面兩端點的直線距離，d 為平行此直線且與滑動面相切的直線到它的距離，也就是滑動面的最大垂直深度：

三、孔隙水壓

原報告以有效重量處理地下水，水位以下的土重改用水中單位重計算，式 (28) 因此改寫為：

本工具直接由使用者畫的地下水位線計算切片底部的孔隙水壓，u_i = γ_wh_w，h_w 為水位線到切片底部中點的鉛直距離。水位線以上的土以 γ 計重，以下以 γ_sat 計重，再以 (W_i − u_ib_i) 代入式 (28)。水位線水平時兩種寫法完全相同。勾選「水位線傾斜修正」時改用 u_i = γ_wh_wcos²θ，θ 為水位線傾角。

四、Baker 的輔助泛函

DP 只能處理可以逐段相加的目標函數，而式 (27) 是兩個總和的比值，不能直接相加。Baker（1980）改以下列輔助泛函取代：

以變分法比較兩者，在臨界滑動面 e 上：

只要總滑動成分 B̄ > 0，G 的極小值條件（δG = 0、δ²G > 0）就是 F_s 的極小值條件。所以固定 F_s 後讓 G 最小，等於讓安全係數最小。G 可以逐段相加，DP 因此能夠處理。

五、DP 遞迴與計算流程

第一條分割線上所有候選點的累積值設為 0，之後逐線向前推進，每個點只保留累積值最小的前一點：

DG_i(K, j) 稱為「利得」，是第 i 條線的點 K 連到第 i+1 條線的點 j 這一段滑動面的貢獻。搜尋範圍延伸到地表以上，地表以上的線段利得為 0，滑動面的起點與終點因此成為解的一部分。最後一條線上累積值最小的點，再沿記錄的前一點回溯，就得到臨界滑動面：

1. 假設安全係數初值 λ（及修正係數 f₀）。
2. 以式 (49) 計算所有候選線段的利得，用式 (47) 以 DP 求出使 G 最小的滑動面 y_i。
3. 沿這個滑動面以簡易 Janbu 法反覆計算，得到它自己的 F_s。
4. 若 |F_s − λ| < ε 則結束；否則令 λ = F_s，回到步驟 2。

本工具的「迭代紀錄」逐輪列出 λ 與該輪滑動面的 F_s，數值應逐輪下降並收斂。

六、滑動面形狀的限制條件

為了排除現實中不會出現的滑動面，原報告加入兩項限制。第一項要求滑動面為凹形（向上開口），避免中間凸起的異常形狀：

第二項要求 n_αi > 0，避免坡趾附近反傾的切片算出負的抵抗力：

本工具對應的設定是「限制滑動面為凹形」。第二項改用較嚴格的常用準則 m_α = cosα + sinα·tanφ′/F ≥ 0.2，只套用在反傾（α < 0）的切片。

凹形限制的判斷方式，以及網頁版的改良（坡度分級、節點容許誤差），可參考 凹形限制動畫說明 ↗，以三段動畫逐步說明。

七、補強構件（土釘與地錨）

每支構件在滑動面的交點，對滑動土體施加一個沿構件方向、指向坡內的拉力。可用拉力取下列最小值，再除以水平間距 S_h 換算為每公尺寬：

T_t 為抗拉強度，q 為每公尺拉拔阻抗，L_e 為穿出滑動面、位於穩定區的長度。土釘另受面版容量 T_f 限制；地錨只計錨碇段，錨碇段整段落在滑動體內時 L_e = 0，並受設計錨力 P 限制。θ 為構件向下傾角。

把 P_x、P_y 加入原報告式 (8)(9) 的切片平衡後，依同樣步驟推導，主動法的安全係數為：

被動法則把 ΣP_x 從分母移到分子，與土壤抵抗力一起除以 F_s。邊坡穩定時（F_s > 1），主動法算出的值一定比被動法高；一般預力地錨用主動法，靠變形才發揮的土釘用被動法，後者較保守。補強力只取決於每一段滑動面與構件的交點，G 仍可逐段相加，因此動態規劃可直接搜尋補強後的臨界滑動面，包括繞到構件後方的較深滑動面。

驗證案例：單一平面滑動塊體加一支地錨，在使用者指定的平面滑動面上，簡易 Janbu 法沒有切片間剪力的誤差，應與下列封閉解一致（主動法，L 為滑動面長，β 為傾角）：

案例條件：均質土 γ = 20 kN/m³、c′ = 5 kPa、φ′ = 30°，坡高 15 m、坡比 1:1.33；平面滑動面由坡趾 (10, 0) 至坡頂 (34, 15)；地錨頭部 (20, 7.5)、向下 20°、總長 20 m、自由段 6 m、水平間距 2 m。另以 T = 0 時結果與無補強完全相同、坡面左右鏡射結果相同、構件加長時臨界滑動面逐漸移到構件後方等條件檢查。

八、擋土牆（整體穩定）

擋土牆以多邊形表示，視為不可穿越、計入重量的結構物。滑動面的任何一段穿過牆體內部都視為不可行，因此搜尋只會找到從牆底下或牆後方通過的滑動面；沿牆底面或牆背滑動則允許。

切片重量由地表往下累加土重，再加上牆體造成的差值。牆體位於地表以下的部分，以牆的單位重取代原本的土重；突出地表的部分則直接加上牆重。對切片底部高程 z_c：

這樣處理的是包含擋土牆在內的整體穩定，也就是滑動面從牆底或牆後通過時的安全係數。牆體本身的滑動、傾倒、偏心與基礎承載力等外部穩定見第十六節，牆身結構強度須另行檢核。

另檢查：指定滑動面穿過牆體時程式會拒絕計算並說明原因；自動搜尋找到的滑動面以 500 個點取樣，沒有任何一點落在牆體內；坡面左右鏡射結果相同。

九、地表載重

均布載重 q 與線載重 P 都視為作用在切片頂面的垂直外力。每個切片承受的載重 Q 為 q 在切片寬度與載重範圍重疊段的積分（均布時即 q 乘以重疊長度，梯形分布時以兩端 q 的平均值乘以重疊長度），線載重則整個加在它所在的切片。只有滑動土體上方的切片會計入，Q 與土重一樣同時進入正向力與滑動力：

Q^* 是勾選「計入地震慣性力」的載重。坡頂載重落在 α 為正的區段，增加的滑動力大於抵抗力，F_s 下降；坡趾載重落在 α 接近 0 或為負的區段，主要增加抵抗力，F_s 上升。動態規劃會自動找出載重影響下最危險的滑動面，包括繞到坡頂載重後方的滑動面，或從坡趾載重後方出露、避開壓腳效果的滑動面。

驗證案例沿用第七節的平面滑動塊體，載重 Q 加在塊體上方，封閉解為：

W′ 為受地震力作用的重量：載重計入地震慣性力時 W′ = W + Q，否則 W′ = W。

另檢查：坡面左右鏡射結果相同；自動搜尋時，坡頂均布載重 10、20、40 kPa 使 F_s 由 1.025 依序降為 1.022、1.016、0.998，載重越大降幅越大。

十、嚴密法：Spencer 法與 Morgenstern–Price 法

簡易 Janbu 法只滿足力平衡，並假設切片間剪力為零，因此需要經驗修正係數 f₀。Spencer（1967）法與 Morgenstern–Price（1965）法同時滿足每個切片的力平衡與整體的力矩平衡，屬於嚴密法。兩者都假設切片間剪力 X 與正向力 E 成比例：

Spencer 法取 f(x) = 1，即所有切片間合力的傾角相同；Morgenstern–Price 法本工具採半正弦函數 f(x) = sin[π(x − x_a)/(x_b − x_a)]，x_a、x_b 為滑動面兩端。計算採一般化極限平衡（GLE）的寫法：給定 F_s 與 λ，由滑動面一端逐片解水平與垂直力平衡，求出底部正向力 N_i 與切片間力 E_i：

F_x,i、F_y,i 為自重、地震力、地表載重與補強力的合力，ℓ_i 為切片底部長度。滑動土體兩端沒有外力，最後一片須滿足 E_n = 0；再將各切片對自身底部中點的力矩相加，切片間力的作用高度互相抵消，得到整體力矩平衡條件：

x_i、z_i 為第 i 片底部中點座標，M_i 為地震力（作用於切片重心）與補強力對底部中點的力矩。本工具以 Newton 法同時求解 F_s 與 λ，並排除 m_α 過小的切片。補強力以主動法計入時直接作為外力；以被動法計入時，沿滑動面的分量與土壤抗剪力一起除以 F_s。

自動搜尋時，DP 仍以簡易 Janbu 法與 Baker 輔助泛函找出臨界滑動面，再以所選嚴密法計算 F_s。勾選「局部最佳化」時，再以樣式搜尋（pattern search）調整滑動面頂點高程與兩端位置，使嚴密法的 F_s 最小，過程中維持凹形限制。非圓弧滑動面經最佳化後，F_s 通常比最佳圓弧低 1–3%，Slide2 驗證手冊的非圓弧案例也有相同趨勢。

驗證一：平面滑動面的封閉解。單一平面上的切片間力都是內力，任何滿足力平衡的方法都應等於楔形體封閉解。以第七節的楔形體（γ = 20 kN/m³、c′ = 5 kPa、φ′ = 30°）檢查，兩種方法與封閉解的差異都小於 10⁻⁹：

驗證二：國際標準考題的指定滑動面。Fredlund and Krahn（1977）比較各種切片法時使用 2:1 邊坡（高 40 ft、c′ = 600 psf、φ′ = 20°、γ = 120 pcf），指定圓心 (120, 90)、半徑 80 ft 的圓弧，並有坡趾下方 3.5 ft 的薄弱夾層（c′ = 0、φ′ = 10°）與地下水位等情況；ACADS 軟弱夾層考題 3(b) 則指定一條非圓弧滑動面。兩組考題可直接檢驗嚴密法的計算：

Fredlund and Krahn (1977) 的參考解與 Slide2 數值取自 Slide2 驗證手冊第 21、22 題，ACADS 3(b) 的 M–P 參考解為 SLOPE/W。薄弱夾層案例對夾層位置敏感，各文獻的設定略有不同，Zhu et al.（2003）得到 Spencer 1.381、1.261，與本工具相近。ACADS 3(b) 的 Spencer 法沒有 SLOPE/W 數值，標 * 的差異以 Slide2 計算。

驗證三：滑動面搜尋。ACADS 考題 1(a) 均質邊坡、1(c) 三層邊坡、1(d) 三層邊坡加水平震度 0.15，以及 3(a) 軟弱夾層邊坡。為區分計算與搜尋的影響，先用同一套嚴密法對 8 千至 1.5 萬個圓弧做格網搜尋，再列出 DP 搜尋加局部最佳化的非圓弧結果（網格 100 × 120）：

圓弧搜尋結果與 Slide2、SLOPE/W 相差 0.1–1.6%，主要來自 1 m 的圓心格網間距。非圓弧最佳化結果比最佳圓弧低 0.5–3.3%，3(a) 比 Slide2 的非圓弧結果低 1.4–1.6%，屬非圓弧搜尋偏低的正常範圍；最佳化前的 DP 滑動面與參考解相差 2% 以內（1(a) 1.001／0.990、1(c) 1.390／1.370、1(d) 1.015／0.990、3(a) 1.271／1.252）。* 3(a) 的 Slide2 與 SLOPE/W 數值為非圓弧搜尋。

十一、反算分析

已知一條實際的崩塌面時，可假設崩塌當時 F_s = 1（或其他目標值），反求某一土層的 c′ 或 φ′。F_s 隨 c′、φ′ 單調增加，本工具先找出使 F_s 跨越目標值的上下界，再以二分法逼近到 10⁻⁶。切片幾何只計算一次，每次只更新該土層的強度，一般滑動面約 0.1 至 1 秒即可完成。另可列出同樣使 F_s 等於目標值的 c′–φ′ 組合；單一滑動面無法同時決定兩個參數，需配合試驗、相近案例或多條崩塌面判斷。

驗證：第七節楔形體（γ = 20 kN/m³）在 F_s = 1 時的封閉解為 tanφ′ = tanβ − c′L/(W cosβ) 與 c′ = W(sinβ − cosβ tanφ′)/L。另以 Fredlund and Krahn (1977) 的圓弧做來回檢查：輸入第十節算得的 F_s 作為目標值，反算結果應回到原本的 c′ = 600 psf 與 φ′ = 20°。

十二、滑動面控制點

地中監測（傾斜管、TDR、多段式伸縮計等）量到的剪動位置，以及地表的崩崖與坡趾隆起，是判斷實際滑動面最直接的證據。若讓程式自由搜尋，得到的臨界滑動面可能比實際淺或深，以它反算的強度或設計的對策也就失去依據。本工具可設定「控制點」與「出入口範圍」，要求搜尋的滑動面通過量測位置，再於此限制下找出最危險的滑動面。

控制點。每個控制點以位置 x_c、地表下深度 d 與容許範圍 ±Δz 定義，控制高程 z_c = z_g(x_c) − d。程式在 x_c 插入一條分割線，並平移該線的節點，使其中一個節點恰好落在 z_c；該線上只保留滿足下式的節點，其餘節點不可通過：

動態規劃的每條路徑都必須在每條分割線上選一個節點，因此所有可行路徑都會通過控制點。限制只作用在狀態上，最佳性原理仍然成立，DP 得到的就是「通過所有控制點的滑動面」中 G 最小者，不需要另外試誤。Δz 可依剪動帶厚度或量測間距（例如 0.5 m）設定；Δz = 0 時滑動面恰好通過 z_c。

出入口範圍。坡趾出口（隆起、湧水位置）與坡頂入口（崩崖、張力裂縫）可各限制一段 x 範圍。DP 由「尚未進入」轉為「進入土體」時，以該段滑動面與地表的交點 x_e 判斷；由「土體內」轉為「離開」時，以交點 x_x 判斷，交點不在範圍內的轉移一律不允許：

選用 Spencer 或 Morgenstern–Price 法並做局部最佳化時，最佳化過程同樣檢查每個控制點與出入口範圍，不會把滑動面移出限制。控制點對多情境檢核的每個情境都有效，計算結果與計算書會列出各控制點的檢核。

實務流程。(1) 依監測資料輸入各孔的剪動深度與容許範圍，並依現地調查設定崩崖與坡趾範圍；(2) 搜尋通過控制點的臨界滑動面，檢查形狀是否合理；(3) 按「以控制點建立指定滑動面」或複製臨界面為指定滑動面，以「反算分析」在 F_s = 1 下求滑動帶強度；(4) 以反算強度評估地錨、排水或抑止樁等對策。若自由搜尋與控制點搜尋的 F_s 相差很多，通常代表地層、水位或強度的設定與現地不符，宜回頭檢討模型。

驗證。以內建三層示範邊坡與 ACADS 軟弱夾層邊坡檢查（網格 100 × 120）：

控制點只約束滑動面的位置，不會改變土層強度。若剪動帶本身是薄弱夾層，仍應在土層中建立該夾層並給予適當（例如殘餘）強度。

十三、坡外積水與張力裂縫

坡外積水。地下水位線畫在地表以上的部分（河道、水庫、坡趾積水）視為積水。積水對滑動體有三項作用：切片頂面的水重 Q_w；斜坡面上水壓的水平分量 H_w，推向坡內而抵抗滑動；滑動面上的孔隙水壓由積水面起算。h_p 為切片處的積水深，Δz_g 為切片頂面（地表）的高差：

三項合起來，相當於把積水面以下的土改用浮單位重 γ′ = γ_sat − γ_w 計算，因此完全淹沒的邊坡與用浮單位重計算的乾邊坡應得到相同的 F_s。這個關係只有在水壓合力於滑動體周邊閉合時才成立。DP 搜尋時，與地表相交的切片只計算地表以下的部分，使滑動面上與地表上的水壓水平分量互相抵銷；若以整片寬度計算，坡趾附近的深積水會讓少數切片的滑動力出現誤差，搜尋可能落到假性的淺層滑動面。這項處理也讓一般邊坡的 DP 計算值與同一滑動面的試算一致。

張力裂縫。c′ > 0 的土在坡頂附近處於主動狀態時，地表下一定深度內的側向應力為拉應力，土體容易開裂，裂縫內的土不提供抗剪強度。Rankine 理論的拉力區深度為下式，γ 取地下水位以上的單位重，各位置依該處地表的土層計算；也可直接指定裂縫深度（例如現地觀察值）：

程式在每條分割線上取最接近 z_c 的節點作為裂縫節點。DP 在土體內的路徑到達裂縫節點時，可以選擇直接以鉛直裂縫離開土體。裂縫充水時，水壓合力 P_w 水平推向坡外，作用在裂縫底以上 z_c/3，在 G 函數中當作滑動力：

是否設裂縫、設在哪條分割線都由 DP 依 G 最小決定；若不設裂縫的 F_s 較小，結果就不含裂縫。嚴密法把 P_w 列入水平力平衡，並以作用點計入力矩平衡；局部最佳化時，滑動面末端沿裂縫底線移動，裂縫深度保持一致。指定滑動面試算與反算分析時，程式在滑動面低於裂縫底線的最靠坡頂處切斷滑動面。多情境檢核可分別設定各情境的裂縫是否充水，暴雨情境預設充水。

驗證一：閉合解與浮單位重。以平面滑動（坡高 15 m、坡面 1:1.33，c′ = 5 kPa、φ′ = 30°、γ = 20 kN/m³）推導閉合解檢查計算式，再以 ACADS 1(a) 邊坡完全淹沒（γ_sat = 20 kN/m³，積水面 z = 40 m）與浮單位重乾邊坡比較：

驗證二：ACADS 考題 1(b)。幾何同 1(a)，c′ = 32 kPa、φ′ = 10°、γ = 20 kN/m³，Rankine 裂縫深 3.81 m 並充水（網格 100 × 120；圓弧為 1 萬個圓弧的格網搜尋）：

Slide2 與本工具同為圓弧搜尋並假設裂縫充水，兩者相差 0.3% 以內。SLOPE/W 手冊列的裂縫深約 3.6 m，其 1.660 與本工具乾裂縫的圓弧結果相同；各軟體處理裂縫水壓的方式不同，文獻值相差約 4%，ACADS 的參考解為 1.65–1.70。非圓弧結果比最佳圓弧低 0.6–2.7%。

十四、分層水壓線與孔隙水壓比 r_u

實際邊坡常有多個含水層，例如崩積層內的地下水位與下方受壓含水層的水頭不同，一條地下水位線無法同時代表兩者。本工具讓每個土層選擇自己的孔隙水壓來源：(1) 地下水位線，為預設的計算方式；(2) 水壓線，在「剖面」頁新增，可代表觀測井量到的水頭，高於地表的部分表示受壓水頭，不視為積水；(3) 孔隙水壓比 r_u，即孔隙水壓與上覆土重的比值，常用於設計圖表與初步檢討；(4) 不計水壓。滑動面通過某層時，以該層的設定計算底部水壓：

z_pz 為水壓線高程，cos²θ 為選用的傾斜修正，σ_v 為滑動面以上土柱的重量（不含積水與擋土牆）。使用水壓線的土層在該線以下採飽和單位重，其餘土層以地下水位線區分 γ 與 γ_sat；坡外積水只由地下水位線決定。多情境檢核時，「水位上升」與「水位達地表」同樣作用在水壓線上，原本高於地表的受壓水頭維持不變；「無地下水」時各土層一律不計水壓；r_u 不隨水位情境改變。

驗證。以第十三節的平面滑動推導閉合解，檢查水壓線與地下水位線位置相同時結果一致，並比較 Fredlund and Krahn（1977）r_u = 0.25 的兩個案例（指定圓弧，圓心 (120, 90)、半徑 80 ft）：

本工具與 Slide2 相差 0.2% 以內，與無水案例（第十節）的差異量級相同。Slide2 數值取自其驗證手冊第 21、22 題。

十五、抑止樁、微型樁與地工合成材

這三種構件與土釘、地錨一樣，在與滑動面的交點對滑動體施加一個力，差別在力的方向與大小。被動計入時，力沿滑動面的分量 R 計入抵抗側，其餘分量當作外力。簡易 Janbu 法由切片的力平衡推得，R 使分子增加 R/m_α；嚴密法則把整個力直接列入力與力矩平衡。土釘與地錨選用被動法時也改用這個式子，楔形滑動的閉合解因此三法完全一致（先前簡易 Janbu 法差 4%）。

抑止樁。依地すべり防止技術指針，先在無樁的臨界滑動面上求「必要抑止力」P_r，使安全係數達到計畫安全率 P_F，再換算每支樁的設計荷重。θ 為樁位處滑動面傾角，D 為樁間距，N 為排數。指針原以 P_r = P_F·ΣT − ΣR 表示；本工具在樁位處加一個沿滑動面的力 P_r，以二分法求所選方法的 F_s(P_r) = P_F，所以 P_r 會隨計算方法不同：

樁視為彈性地盤上的梁。水平地盤反力係數依道路橋示方書，由變形係數 E₀ 與換算係數 α 疊代求得：

楔形樁（くさび杭）假設樁隨移動層一起受力，荷重 H 作用在滑動面，上下兩段各為半無限長樁，最大彎矩分別出現在滑動面以上 α₁/β₁ 與以下 α₂/β₂ 處（地すべり鋼管杭設計要領）：

懸臂樁（抑え杭）用於下坡側沒有地盤反力的情況，荷重作用在滑動面以上 h 處（三角形分布 h = L_e/3，等分布 L_e/2，剛體滑動 0），以穩定層的 Chang 公式求最大彎矩：

鋼管斷面不計內填砂漿，依鋼種與長期、短期取容許應力（SKK400：140／80，SKK490：185／105，SM570：255／145 N/mm²，短期為 210／120、280／160、380／220），剪應力修正係數 α 一般取 2.0。根入長度取上式（懸臂樁為 kπ/β₂）且不小於 3 m，k 一般取 1.0–1.5。另依道路土工切土工・斜面安定工指針檢核樁前地盤的降伏，K_p = tan²(45° + φ′/2)：

搜尋臨界滑動面時，每條滑動面依它與樁的交點重新計算 L_e、L_r，樁的容許水平荷重取剪力、彎矩（含軸力）與兩項地盤降伏的最小值，再以 P = H·N/(D·cosθ) 換算為沿滑動面的抑止力。接近樁底通過的滑動面因 Q_p2 很小而只得到很小的抵抗，從樁底下方通過的滑動面則完全不受樁的影響，所以加樁後的搜尋會自動檢討這些破壞型態。

微型樁。軸力 N_a = min(q·L_e, 軸向強度)，L_e 為穿出滑動面的長度，沿樁軸作用；剪力 V_a 垂直樁軸。兩者的方向都取抵抗滑動的一側（例如向坡外傾的樁受壓），合力除以間距，一律以被動方式計入。

地工合成材。依 FHWA 加勁邊坡作法，容許拉力 T_a 由極限拉力扣除施工損傷、潛變與耐久折減；拉拔阻抗沿滑動面後方（坡面端未包覆時也計前方）的埋入長度積分，σ_v′ 為該處的有效覆土應力，C_i 為介面係數（格網約 0.8，織物約 0.67），α 為尺寸效應係數。拉力取三者的最小值，方向可選水平（延展性材料的保守作法，預設）或沿滑動面，主動或被動依「補強力計入方式」：

驗證一：楔形滑動閉合解。沿用第十三節的平面滑動（c′ = 5 kPa、φ′ = 30°、γ = 20 kN/m³），閉合解由楔體的力平衡直接推得，構件力取程式報告的容量：

坡面左右鏡射的結果相同。拉拔一例的 10⁻⁵ 差異來自拉拔積分的數值積分。

驗證二：鋼管杭計算例。以地すべり鋼管杭設計要領格式的楔形樁計算例（φ300×10 mm、SKK490 長期、P_r = 111.11 kN/m、θ = 10°、D = 2 m、L_e = 5 m、L_r = 6.5 m、E₀ = 22,400／42,000 kN/m²、γ = 18 kN/m³、c = 50 kPa、φ = 25°）比對：

差異在 0.03% 以內，來自計算例把 EI 進位為 19,180 kN·m²（本工具 19,178）。懸臂樁的彎矩與 Chang 公式直接計算相同；在指定滑動面上加入求得的 P_r 後，F_s 等於計畫安全率（1.20000）。計算例取自市售鋼管杭設計軟體的公開範例。

十六、擋土牆外部穩定

外部穩定把牆體當作剛體，以前趾為原點、往坡內為正的局部座標計算各力。重力式擋土牆的土壓力作用在牆背，採 Coulomb 公式，牆背摩擦角 δ 預設 2φ′/3；懸臂式與扶壁式擋土牆的土壓力作用在通過踵端的鉛直假想背面，採 Rankine 公式（δ = β），底版上方到地表的土重計入牆體。扶壁以 (γ_c − γ_s)·A·t/s 計入淨重，t 為扶壁厚、s 為間距。回填坡度 β 取牆背後一倍牆高範圍內的平均地表坡度。

地震時以 Mononobe–Okabe 公式計算土壓力係數，乘以 (1 − k_v)，並把牆體與土體的慣性力 k_h·W 作用在各自的形心，重量乘以 (1 − k_v)。φ − β − θ ≤ 0 時公式失效，程式取根號項為 0 並提出警告。

土壓力沿深度逐段積分。σ′_v 由背後地表起算，水位以上用 γ，以下用 γ_sat − γ_w；背填土取牆背中段的土層，可在牆的設定中改為指定值。地表載重 q 取牆背後一倍牆高範圍內均布載重的平均值，線載重不計入。牆背水壓以牆後地下水位計算，底面揚壓力為梯形分布；勾選「排水良好」時兩者都不計。

所有力矩以前趾為中心。∑H 含土壓力水平分量、牆背水壓與地震慣性力，∑V 含牆重、土重、土壓力鉛直分量並扣除揚壓力。底面摩擦係數 μ 預設 tan(2φ′_f/3)，φ′_f 為基礎土的摩擦角；勾選時滑動可計入牆前被動土壓的 50%。合力位置 x_r = (M_r − M_o)/∑V。

基礎承載力以 Meyerhof 公式計算（帶狀基礎），採有效寬度 B′ = B − 2|e|，承載力係數 N_q = e^{π tanφ} tan²(45° + φ/2)、N_c = (N_q − 1) cotφ、N_γ = 2(N_q + 1) tanφ，深度係數依 Das，荷重傾斜係數 F_ci = F_qi = (1 − ψ/90°)²、F_γi = (1 − ψ/φ)²，ψ = tan⁻¹(∑H/∑V)。也可改為輸入容許承載力 q_a，以 q_max ≤ q_a 檢核。

要求安全係數以下拉選單選擇規範，預設為水土保持技術規範第 120 條，另有建築物基礎構造設計規範與公路橋梁設計規範。各情境依「檢核」頁的設定計算，地震情境採地震時的要求值。

驗證。土壓力係數與承載力係數和教科書表值比對，力系層級以兩個已發表的計算例比對，完整牆體以手算比對：

表值與計算例的差異來自原文的四捨五入。手算比對的差異在 10⁻⁶ 以內，來自底版上方土重的數值積分。

符號

W_i

切片自重 (kN/m)

N_i、T_i

滑動面上的正向力、抵抗力

E_i、X_i

切片間水平力、剪力

α_i

滑動面傾角

ℓ_i、b_i

切片底長、寬度，b = ℓcosα

c′、φ′

有效凝聚力 (kPa)、有效摩擦角

U_i、u_i

切片底部孔隙水壓 (kPa)

k_H、k_V

水平、垂直震度

F_s、λ

安全係數、搜尋用的安全係數

f₀

修正係數

d、L

滑動面最大垂直深度、兩端點直線距離

G、DG

輔助泛函、利得（單段貢獻）

T、θ、S_h

補強拉力、構件向下傾角、水平間距

P_x、P_y

補強力的水平、垂直分量（每公尺寬）

λ, f(x)

切片間剪力與正向力之比例係數、分布函數（Spencer 與 Morgenstern–Price 法）