SSA 邊坡穩定分析

方法原理與公式

本工具的計算核心係參考日本建設省土木研究所地すべり研究室的「動的計画法を用いた臨界すべり面解析法」（中村・久保田，1987，土木研究所資料第 2425 號，程式 CSSDP1）。以動態規劃搜尋任意形狀的臨界滑動面，並以簡易 Janbu 法計算安全係數。下文式號與原報告相同，方便對照。

一、為什麼用動態規劃

臨界滑動面分析是在給定的地形、地層與土壤條件下，找出安全係數最小的滑動面。傳統做法先假設圓弧或對數螺旋，再移動圓心與半徑試算；多層地盤、地形起伏大時，真正的臨界面往往不是圓弧。動態規劃（Dynamic Programming，DP）由 Bellman（1957）提出，把問題拆成多個階段逐段求最佳解，可以在搜尋範圍內找出任意形狀的滑動面，不必事先假設形狀。

DP 依據最佳化原理：不論初始狀態與第一步如何選擇，其餘的決策對第一步造成的狀態而言必須是最佳的。多階段問題因此化為遞迴式。

f_{n} = \min \overline{G} = \min [{\overline{G}}_{0} + f_{n - 1}]

(1)

放到邊坡上，每一條垂直分割線是一個「階段」（stage），線上的候選點是「狀態」（state）。滑動面就是從第一條線走到最後一條線、每條線各選一點所連成的折線。

搜尋網格示意。紅線是累積值最小的路徑，地表以上的線段不計任何力，所以滑動面的起點與終點由計算自動決定。

二、簡易 Janbu 法的安全係數

把滑動土體切成 n 個垂直切片。第 i 片受到自重 W_i、水平與垂直震度 k_H、k_V、滑動面上的正向力 N_i 與抵抗力 T_i，以及兩側的切片間水平力 E 與剪力 X。

第 i 個切片的受力（參考原報告圖 2）。土體向左下滑動，α_i 為滑動面傾角。

切片的垂直與水平力平衡：

(1 + k_{V}) W_{i} + Δ X_{i} = T_{i} \sin α_{i} + N_{i} \cos α_{i}

(8)

Δ E_{i} = - T_{i} \cos α_{i} + N_{i} \sin α_{i} + k_{H} W_{i}

(9)

滑動土體兩端不受外力，X₁ = X_n+1 = 0、E₁ = E_n+1 = 0，所以 ΣΔX_i = 0、ΣΔE_i = 0（式 12、15、16）。滑動面上的抵抗力由 Mohr–Coulomb 破壞準則與安全係數定義：

T_{i} = \frac{c_{i}^{'} ℓ_{i} + (N_{i} - U_{i} ℓ_{i}) \tan φ_{i}^{'}}{F_{s}}

(19)

由式 (8) 解出 N_i 代入式 (19)，再代入整體水平力平衡，並採用簡易 Janbu 法的假設 ΔX_i = 0（切片間垂直剪力變化忽略不計，式 25），得到：

F_{s} = f_{0} \cdot \frac{\sum A_{i}}{\sum B_{i}}

(27)

A_{i} = \frac{c_{i}^{'} ℓ_{i} \cos α_{i} + {(1 + k_{V}) W_{i} - U_{i} ℓ_{i} \cos α_{i}} \tan φ_{i}^{'}}{n_{α i}}

(28)

B_{i} = (1 + k_{V}) W_{i} \tan α_{i} + k_{H} W_{i}

(29)

n_{α i} = \cos^{2} α_{i} (1 + \frac{\tan α_{i} \tan φ_{i}^{'}}{F_{s}})

(23)

A_i 是抵抗成分，B_i 是滑動成分。ℓ_icosα_i 就是切片寬度 b_i。F_s 同時出現在等號兩邊，需先假設初值再反覆計算到收斂。

f₀ 是補償 ΔX_i = 0 假設的修正係數。原報告採用申・板垣（1983）的經驗式，L 為滑動面兩端點的直線距離，d 為平行此直線且與滑動面相切的直線到它的距離，也就是滑動面的最大垂直深度：

f_{0} = {(50 d / L)}^{0.03}

(30)

三、孔隙水壓

原報告以有效重量處理地下水，水位以下的土重改用水中單位重計算，式 (28) 因此改寫為：

A_{i} = \frac{c_{i}^{'} ℓ_{i} \cos α_{i} + (W_{i}^{'} + k_{V} W_{i}^{'}) \tan φ_{i}^{'}}{n_{α i}}

(31)

本工具直接由使用者畫的地下水位線計算切片底部的孔隙水壓，u_i = γ_wh_w，h_w 為水位線到切片底部中點的鉛直距離。水位線以上的土以 γ 計重，以下以 γ_sat 計重，再以 (W_i − u_ib_i) 代入式 (28)。水位線水平時兩種寫法完全相同。勾選「水位線傾斜修正」時改用 u_i = γ_wh_wcos²θ，θ 為水位線傾角。

四、Baker 的輔助泛函

DP 只能處理可以逐段相加的目標函數，而式 (27) 是兩個總和的比值，不能直接相加。Baker（1980）改以下列輔助泛函取代：

\overline{G} = \sum (A_{i} - F_{s} \cdot B_{i} / f_{0}) = \overline{A} - F_{s} \overline{B} / f_{0}

(34)

以變分法比較兩者，在臨界滑動面 e 上：

δ {({\overline{F}}_{s})}_{e} = \frac{f_{0} δ {(\overline{G})}_{e}}{{(\overline{B})}_{e}} δ^{2} {({\overline{F}}_{s})}_{e} = \frac{f_{0} δ^{2} {(\overline{G})}_{e}}{{(\overline{B})}_{e}}

(43)(44)

只要總滑動成分 B̄ > 0，G 的極小值條件（δG = 0、δ²G > 0）就是 F_s 的極小值條件。所以固定 F_s 後讓 G 最小，等於讓安全係數最小。G 可以逐段相加，DP 因此能夠處理。

五、DP 遞迴與計算流程

第一條分割線上所有候選點的累積值設為 0，之後逐線向前推進，每個點只保留累積值最小的前一點：

G_{1} (K) = 0, K = 1 \dots K K_{1}

(45)(48)

G_{i + 1} (j) = \min_{K = 1 \dots K K_{i}} {G_{i} (K) + D G_{i} (K, j)}

(47)

D G_{i} = A_{i} - F_{s 0} \cdot B_{i} / f_{0}

(49)

DG_i(K, j) 稱為「利得」，是第 i 條線的點 K 連到第 i+1 條線的點 j 這一段滑動面的貢獻。搜尋範圍延伸到地表以上，地表以上的線段利得為 0，滑動面的起點與終點因此成為解的一部分。最後一條線上累積值最小的點，再沿記錄的前一點回溯，就得到臨界滑動面：

T_{s} = \min_{K = 1 \dots K K_{n + 1}} [G_{n + 1} (K)]

(46)

假設安全係數初值 λ（及修正係數 f₀）。
以式 (49) 計算所有候選線段的利得，用式 (47) 以 DP 求出使 G 最小的滑動面 y_i。
沿這個滑動面以簡易 Janbu 法反覆計算，得到它自己的 F_s。
若 |F_s − λ| < ε 則結束；否則令 λ = F_s，回到步驟 2。

本工具的「迭代紀錄」逐輪列出 λ 與該輪滑動面的 F_s，數值應逐輪下降並收斂。

六、滑動面形狀的限制條件

為了排除現實中不會出現的滑動面，原報告加入兩項限制。第一項要求滑動面為凹形（向上開口），避免中間凸起的異常形狀：

{(\frac{d^{2} y}{d x^{2}})}_{i} \geq 0, i = 1 \dots n

(50)

第二項要求 n_αi > 0，避免坡趾附近反傾的切片算出負的抵抗力：

n_{α i} > 0 \Rightarrow F_{s} > - \tan α_{i} \tan φ_{i}^{'}

(51)(52)

本工具對應的設定是「限制滑動面為凹形」。第二項改用較嚴格的常用準則 m_α = cosα + sinα·tanφ′/F ≥ 0.2，只套用在反傾（α < 0）的切片。

符號

W_i: 切片自重 (kN/m)
N_i、T_i: 滑動面上的正向力、抵抗力
E_i、X_i: 切片間水平力、剪力
α_i: 滑動面傾角
ℓ_i、b_i: 切片底長、寬度，b = ℓcosα
c′、φ′: 有效凝聚力 (kPa)、有效摩擦角
U_i、u_i: 切片底部孔隙水壓 (kPa)
k_H、k_V: 水平、垂直震度
F_s、λ: 安全係數、搜尋用的安全係數
f₀: 修正係數
d、L: 滑動面最大垂直深度、兩端點直線距離
G、DG: 輔助泛函、利得（單段貢獻）

邊坡穩定分析